Задания (математика)

Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает его сторону AD в точке M. Диагонали AC и BD параллелограмма пересекаются в точке O. Окружность, описанная вокруг треугольника ABM, касается прямых BC и OM.
а) Докажите, что AB ⊥ BD.
б) Отрезки AC и BM пересекаются в точке K. Найдите площадь четырёхугольника KODM, если O…

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. Отрезок EH — перпендикуляр из точки E на прямую MK.
а) Докажите, что EK ∥ CH.
б) Известно, что AC = 15, BC = 8. Найти отношение CH к EK.

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3.
а) Докажите, что AN = 2KM.
б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключенного внутри треугольника KMN, если AB = 6, BC = 8.

В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Из точки H проведены перпендикуляры HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E.
а) Докажите, что EH ∥ AB.
б) Найдите ME, если известно, что AB = 5 и AC = 6.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 3, AC = 5.

Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P.
а) Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны.
б) Найдите AB, если BC = 6 и AC = 4.

Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N, так что AM = NM = NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN пересекает сторону CD в точке Q.
а) Докажите, что площадь четырехугольника BPDQ равна площади треугольника ADC.
б) Найдите BD, если известно, что и около пятиугольника MNQDP можно описать ок…

В ромбе ABCD точки K и L — середины сторон BC и CD соответственно. Прямые AK и AL пересекают диагональ BD в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что SAPQ = SBKP + SDLQ.
б) Известно, что в пятиугольник CKPQL можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна

Дан прямоугольник ABCD. Известно, что CD = 3AD. Точка M — середина его стороны AD. На стороне CD отмечена точка N. Известно, что CN = 2ND. Точка K — середина отрезка CM.
а) Докажите, что точки B, N и K лежат на одной прямой.
б) Найдите KN, если известно, что

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что…

Дан остроугольный треугольник ABC. Его высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H.
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до стороны BC, если а

Пятиугольник ABCDE — вписанный, точка M — пересечение диагоналей BE и AD. Известно, что BCDM — параллелограмм.
а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны.
б) Найдите AB, если известно, что

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что и
а) Докажите, что

Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.
а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найти отношение BH к ED, если