Фильтры по номеру, теме, сложности и поиску. Заданий найдено: 13.
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. Плоскость α проходит через ребро AB и пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Известно, что AB = AN = BM = 5MN.
а) Докажите, что SM : MC = SN : ND = 1 : 4.
б) Найдите косинус угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA.
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.
б) Найдите объем пирамиды MABF, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 8.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка K — середина ребра A1B1. Плоскость α проходит через точки A, K и C.
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 4.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA.
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.
б) Найдите объем пирамиды MABF, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 4.
В прямой треугольной призме ABCA1B1C1 в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом B и с катетами, равными 6. Боковые рёбра призмы равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, …
В правильной треугольной призме сторона AB основания равна 2, точка M — середина ребра CC1.
а) Докажите, что сечение A1MB — равнобедренный треугольник.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 6.
Точка O — центр грани A1B1C1D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Сечения параллелепипеда плоскостями AOB и BOC являются прямоугольниками, стороны AB и BC этих сечений в 3 раза меньше соответственных больших сторон сечений.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между прямой A1C и плоскостью BOC.
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки M и K — середины его ребер AB и BC соответственно. Плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A1M и B1K.
а) Докажите, что плоскость α проходит через точку D.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если его ребра равны 2.
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а
а) Докажите, что BD = CD.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3. Найдите площадь сечения MNB.
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 плоскость α проходит через вершины B1 и D, пересекает стороны AA1 и CC1 в точках M и K соответственно, а сечение призмы плоскостью α является ромбом.
а) Докажите, что точка M — середина ребра AA1.
б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна 3, а площадь сечения…
В правильной треугольной пирамиде SABC стороны основания ABC равны 12, а боковые ребра — 25. На ребрах AB, AC и SA отмечены точки F, E и K соответственно. Известно, что AE = AF = 10, AK = 15.
а) Докажите, что объем пирамиды KAEF составляет от объема пирамиды SABC.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KEF.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины ребер AB и SC соответственно. На продолжении ребра SB за точку S отмечена точка R. Прямые RM и RK пересекают ребра AS и BC в точках N и L соответственно, причем 2BL = 3LC.
а) Докажите, что прямые MK и NL пересекаются.
б) Найдите отношение
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и Длины боковых рёбер пирамиды SA = 15, SB = 17,
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.