№17 — #1711

Решение.
а) Из условия следует, что отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, а потому и Следовательно,


Таким образом, то есть треугольники ABN и MNK — прямоугольные, катеты которых пропорциональны с коэффициентом 2. Такие треугольники подобны, тогда откуда
б) Продлим прямые AB и MK до пересечения в точке S, отрезок PL — искомый (см. рис.). Из доказанного в пункте а) находим Углы BKS и MKN равны как вертикальные, поэтому прямоугольные треугольники BKS и MKN равны по катету и острому углу, откуда Из прямоугольного треугольника ABN по теореме Пифагора находим Углы APS и MPN равны как вертикальные, углы BSK и KMN равны как соответствующие элементы равных треугольников, поэтому треугольники APS и NPM подобны, то есть

Отсюда Применим теорему косинусов для треугольника ABP:







Углы APB и NPL равны как вертикальные, углы ABP и NLP равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и MN секущей BL, следовательно, треугольники ABP и NLP подобны по двум углам. Таким образом, откуда


Ответ: б) 52